Cette thèse est composée de deux parties portant chacune sur l'étude de la régularité des solutions pour des problèmes plastiques-parfaits en dimension 1.

• [1] Régularité des solutions pour un problème plastique-parfait simplifié en dimension 1.
  
  Dans ce chapitre, on considère le problème variationnel suivant, issu des équations et inéquations d'un modèle plastique-parfait simplifié unidimensionnel
  
  $$ Inf P_{\lambda}=\Inf_{u\in W^{1,1} ,u(0)=\alpha, u(1)=\beta} \{ \Int_0^1{\Psi(u'(t))}-\lambda \Int_0^1 f(t)u(t)dt \} $$
  
  o\`u $\Psi$ est une fonction convexe, coercive sur $L^1$ et au plus linéaire àl'infini, $f$ est la charge, et $\lambda$ un paramètre.
  Dans ''Problèmes Mathéematiques en Plasticité'', R. Temam a montré l'existence d'un intervalle de $\R$, tel que pour tout $\lambda$ dans cet intervalle, $Inf\P_{\lambda}>-\infty$. En fait, on peut prouver l'existence de solutions en un sens faible ; on introduit pour cela une forme relaxée du problème initial :
  
  $$ Inf(P_{\lambda R})=\Inf_{u \in BV(]0,1[)}\{ \Int_0^1\Ps(u')+\Psi_{\infty}(u(1)-\beta)+\Psi_{\infty}(\alpha-u(0))-\lambda\Int_0^1fu\} $$
  
  où $\Psi_{\infty}$ est la fonction asymptotique de $\Psi$ (i.e. $\Psi_{\infty}(x)=\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{\Psi(t\,x)}{t}$), et on remarque alors que $Inf(P_{\la R})=Inf\Pb$.
  C'est la régularité de ces solutions faibles (ici dans $BV(]0,1[)$) qui nous intéresse.
  Dans une première section, on introduit le probl\ème dual, au sens de la dualité convexe, qui est aussi le problème en contrainte :
  
  $$ Sup\Pa=\Sup_{\sigma'=-\lambda f}\{-\Int_0^1{\Psi^*(\sigma(t))}+\cons\Grac $$
  
  et on utilise les résultats de l'analyse convexe pour établir l'égalit\'e Inf-Sup entre ces deux problèmes. On introduit alors la notion de charge limite, au sens défini par R. Temam, et on donne une expression explicite de sa valeur, dans ce cas précis.On établit alors la relation d'extrémalité, qui lie, lorsqu'elles existent les solutions du problème en déplacement à celles au problème en contrainte. On termine cette section par le calcul explicite de la conjuguée de $\Psi$ au sens de Fenchel, et par une étude détailléee de sa régularitée.
  Dans une deuxième section, on étudie les solutions au problème en contrainte. Il n'est pas difficile de montrer qu'elles existent toujours, quelle que soit la charge appliquée (pour peu que l'on soit en deça de la charge limite). On commence ici par mettre la contrainte sous la forme suivante :
  
  $$ \sigma_{\lambda}(X,t)=X-\labda\Int_a^t f(s)\,ds $$
  
  o\`u $X$ est la valeur maximale prise par $\sigma_{\lambda}$ et $a$ est telle que $\int_a^t f(s)\,ds$ garde un signe positif.La recherche d'une solution au problème en contrainte est alors équivalente à l'optimisation de la fonction :
  
  $$ G_{\lambda}(X)=-\Int_0^1 \Psi^*(\sigma_{\lambda}(X,t))\,dt +\sigma_{\lambda}(X,1) \beta-\sigma_{\lambda}(X,0)\al pha$$
  
  De cette étude, on tire deux propositions qui donnent des conditions nécessaires et suffisantes, portant sur $G_{\lambda}$ d'existence de solutions régulières pour le problème en déplacement, grâce à une utilisation systématique de la relation d'extrémalité. On transforme alors ces conditions sur $G_{\lambda}$ en conditions sur $\lambda$ pour obtenir le théorème suivant :
  1) $\exists (lli_r,lls_r)\in(\R^+)^2$ telles que $\forall \lambda\in\Lambda_r=]-lli_r,lls_r[$, \\$Inf\Pb$ possède au moins une solution dans $W^{1,1}(]0,1[)$ vérifiant les conditions aux limites.
  2) $\{\lambda\in\R\backslash \Lambda_r,/$ $Inf\Pb$ possède une solution régulière$\}$ est au plus dénombrable.
  
  Dans une dernière section, on applique ce qui a été fait précèdemment à trois exemples fondamentaux, à savoir :
  \item Le modèle rigide plastique où $\Psi(X)=|X|$
  \item Le modèle élasto-plastique où $\Ps(X)= \left\{ \begin{tabular}[c]{ll} $\Frac{1}{2}X^2$ & si $|X|\leqslant 1$\\ $|X|-\Frac{1}{2}$ & sinon \end{tabular} \right.$
  \item Le modèle où $\Psi$ est strictement convexe : $\Psi(X)=\sqrt{1-X^2}$
  
  
• [2] Gradient contraint unilatéral
  
  Dans ce chapitre, on considère un problème plastique-parfait simplifié unidimensionnel avec gradient contraint unilatéral, sous la forme suivante :
  
  $$ Inf\Pb=\Inf_{u\in W^{1,1} ,u(0)=\alpha, u(1)=\beta, u'<=1} \{ \Int_0^1 \Psi(u'(t))}dt-\lambda \Int_0^1f(t)u(t)\,dt \} $$
  
  Dans un premier temps, on met ce problème variationnel sous la forme :
  
  $$Inf\Pb=\Inf_{u\in W^{1,1} ,u(0)=\alpha, u(1)=\beta} \{ \Int_0^1 g(u'(t))}-\lambda \Int_0^1f(t)u(t)dt \}$$
  
  où $g$ est d\'efinie par :
  
  $$ g: \begin{tabular}[t]{rl} $\R \longrightarrow $ & $\R$\\
  $X \longmapsto$ & $\left\{ \begin{tabular}[c]{ll} $+\infty$ & si $X>1$ \\
  $\Ps(X)$ & sinon \end{tabular} \right.$ \end{tabular} $$
  
  Utilisant l'analyse convexe, on trouve un problème dual qui est :
  
  $$ Sup\Pa=\Sup_{{\sigma\in S_{ad}(\la)}\atop {\sigma \geqslant \Psi_{\infty}(-1)}} \{ -\Int_0^1 g^*(\sigma(t))\,dt+\beta\sigma(1)-\alpha\sigma(0)\} $$
  
  Le critère qui nous permettait dans le chapitre précédent de conclure à l'égalité Inf-Sup n'est plus vérifié dans le cadre de ce problème. On commence donc par établir le théorème suivant :
  
  $$ Inf\Pb=Sup\Pa $$
  
  La preuve de ce théorème nécessite cinq étapes :
  Cette première étape est consacrée au calcul du problème dual et à l'établissement de l'inégalité : $Sup\Pa\leqslant Inf\Pb$.
  
  On utilise dans une deuxième étape une méthode de pénalisation pour introduire la famille :
  $$ g_{\nu} : \begin{tabular}[t]{rl} $\R \longrightarrow $ & $\R$\\
  $X \longmapsto$ & $\Psi(X)+\Frac{1}{2\nu} {(X-1)^+}^2$ \end{tabular}$$
  et les problèmes pénalisés :
  $$ Inf\Pp = \Inf_{u\in W^{1,1} ,u(0)=\alpha, u(1)=\beta, u'<=1} \{ \Int_0^1 g_{\nu}(u'(t))\,dt-\lambda\Int_0^1 u'(t)\f(t)\,dt \}$$
  $$ Sup\PP=\Sup_{\sigma} \{-\Int_0^1 g^*_{\nu}(\sigma(t))\,dt $$
  On montre alors :
  $$ -\infty<Inf\Pp=Sup\PP\leqslant Sup\Pa\leqslant Inf\Pb\leqslant +\infty $$
  
  Dans cette troisième étape, on introduit un problème relaxé sur $BV(]0,1[)$, à savoir
  $$Inf \Prb = \Inf_{{{{u\in BV(]0,1[)}\atop {u'\leqslant 1}}\atop {u(o^+)\leqslant \al}} \atop {u(1^-)\geqslant \be}} \{ \Int_0^1 \Psi(u')+\Psi_{\infty}(\beta-u(1^-)) + \Psi_{\infty} (u(0^+)-\alpha)- \lambda\Int_0^1 f(t)\,u(t)\,dt \}$$
  et on établit l'inégalité :
  $$Inf \Prb \leqslant \Liminf{\nu\rightarrow 0^+} Inf \Pp $$
  
  Cette étape consiste à montrer l'égalité entre le problème relaxé sur $BV$ et celui sur $W^{1,1}$.
  
  Cette dernière étape permet d'établir l'égalité $Inf\Prw=\inf\Pb$ et de conclure.
  
  Une fois ce théorème établi, on reprend le plan du chapitre précèdent, et on obtient :
  1) $\exists (lli_r,lls_r)\in(\overline{\R}^+)^2$ telles que $\forall \la\in\Lambda_r=]- lli_r,lls_r[$, \\
  $Inf\Pb$ possède au moins une solution dans $W^{1,1}(]0,1[)$ vérifiant les conditions aux limites.\\
  2) $\{\lambda \in\R\backslash \Lambda_r,/$ $Inf\Pb$ possède une solution régulière$\}$ est au plus dénombrable.
  Il faut noter que, pour ce problème, le convexe de Régularité peut ne pas être borné.

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